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第1章 变分原理5

1.1 可微二次凸泛函的极小化问题5

1.2 不可微凸泛函的极小化问题15

1.3 多元函数微分学19

第2章 Sobolev空间23

2.1 Lebesgue积分23

2.2 广义（弱）导数24

2.3 Sobolev空间29

2.4 嵌入定理30

2.5 迹定理36

2.6 Sobolev空间中的Green公式41

2.7 等价模定理42

第3章 椭圆边值问题48

3.1 二阶椭圆型方程边值问题48

3.2 线弹性边值问题54

3.3 变分不等式64

3.4 四阶椭圆边值问题68

第4章 有限元离散73

4.1 有限元离散的基本特性73

4.2 三角形单元78

4.2.1 三角形上一次元78

4.2.2 三角形上高次元84

4.3 矩形单元93

4.3.1 双线性矩形单元93

4.3.2 双二次矩形单元95

4.4 四阶问题的协调有限单元96

4.4.1 Argyris三角形元96

4.4.2 Bell三角形元98

4.4.3 Hsich-Clough-Tocher（HCT）三角形元100

4.5 记号及一般概念103

5.1 收敛性的一般考虑108

第5章 协调有限元方法的误差分析108

5.2 Sobolev空间中的分片多项式插值110

5.2.1 仿射等价有限元之间的Sobolev半范数的关系110

5.2.2 单元上插值误差估计113

5.3 多边形区域上二阶问题的有限元误差116

5.3.1 误差估计116

5.3.2 低模估计117

5.3.3 非光滑解的收敛性120

5.4 有限元空间中的反不等式121

5.4.1 单元上的反不等式122

5.4.2 反不等式123

5.5 有限元方法的非整数阶误差估计128

5.5.1 Banach空间的内插理论128

5.5.2 Sobolev空间中的内插133

5.5.3 有限元方法分数阶误差估计133

5.6 非光滑函数的插值（C1ément插值）136

5.6.1 有限元空间137

5.6.2 Clément插值138

5.6.3 定理的证明139

第6章 数值积分影响，等参数有限元143

6.1 有限元方法中的数值积分143

6.1.1 三角形上一次精度求积公式146

6.1.2 2次精度求积公式147

6.1.3 3次精度的求积公式148

6.1.4 带导数的3次求积公式149

6.1.5 矩形单元上的数值积分150

6.2 数值积分下的抽象误差估计151

6.3 相容误差估计157

6.4 曲边区域的有限元逼近168

6.4.1 仿射等价有限元逼近169

6.4.2 等参有限元方法172

6.5 等参数有限元174

6.6 等参元的插值误差177

6.7 等参元的误差估计187

第7章 非协调有限元191

7.1 抽象误差估计191

7.2 二阶问题的非协调元194

7.2.1 Crouzeix-Raviart三角形元195

7.2.2 Wilson矩形元200

7.3 四阶问题的非协调元205

7.4 平面弹性问题的有限元方法及闭锁问题212

7.4.1 闭锁现象214

7.4.2 无闭锁有限元方法224

第8章 混合有限元法229

8.1 混合变分形式229

8.2 Babuska-Brezzi理论231

8.2.1 Babuska理论231

8.2.2 inf-sup条件235

8.2.3 Brezzi理论238

8.2.4 Fortin准则241

8.3 二阶椭圆问题的混合有限元方法242

8.3.1 混合变分形式解的存在唯一性242

8.3.2 混合有限元离散243

8.4 Stokes问题的混合有限元方法245

8.4.1 混合变分形式的存在唯一性245

8.4.2 混合有限元离散246

8.4.3 非协调混合有限元离散250

第9章 多重网格法253

9.1 多重网格法的思想253

9.1.1 刚度矩阵的条件数253

9.1.2 经典迭代法的缺陷258

9.1.3 多重网格格式260

9.2 W循环多重网格法的收敛性264

9.2.1 网格相关范264

9.2.2 逼近性266

9.2.3 光滑性267

9.2.4 收敛性269

9.3 V循环多重网格法的收敛性270

9.3.1 残量的算子表示271

9.3.2 光滑性272

9.3.3 收敛性272

9.4 套迭代及其工作量的估计274

9.5 瀑布型多重网格法276

第10章 多水平方法281

10.1 分层基方法281

10.1.1 有限元空间的多水平分裂281

10.1.2 一些基本结果284

10.1.3 强Cauchy-Schwarz不等式287

10.1.4 分层基刚度矩阵的条件数290

10.2.1 L2投影的一些性质292

10.2 BPX多水平方法292

10.2.2 BPX多水平预条件子297

10.2.3 BPX预条件子B的矩阵形式301

第11章 区域分解法306

11.1 经典Schwarz交替法306

11.2 两水平加性Schwarz方法310

11.3 非重叠型Schwarz方法319

11.4 D-N交替法322

11.4.1 Steklov-Poincaré算子322

11.4.2 D-N交替法323

11.4.3 有限元离散331

11.4.4 矩阵形式334

11.5 子结构方法336

11.5.1 方法的描述337

11.5.2 定理11.5.1的证明340

参考文献348