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第11章 反常积分1

11.1 反常积分的概念1

11.1.1 无穷限积分1

11.1.2 瑕积分3

习题11.14

11.2 无穷限积分的性质与收敛判别4

11.2.1 无穷限积分的性质4

11.2.2 比较判别法5

11.2.3 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法7

习题11.29

11.3 瑕积分的性质与收敛判别10

11.3.1 瑕积分的性质10

11.3.2 比较判别法11

习题11.313

总练习题1113

第12章 数项级数15

12.1 级数的收敛性15

12.1.1 级数的基本概念15

12.1.2 级数的柯西收敛准则16

12.1.3 收敛级数的性质17

习题12.118

12.2 正项级数19

12.2.1 正项级数与比较判别法19

12.2.2 比式判别法与根式判别法21

12.2.3 积分判别法23

12.2.4 拉贝判别法与高斯判别法24

习题12.226

12.3 一般项级数28

12.3.1 交错级数28

12.3.2 绝对收敛与条件收敛29

12.3.3 绝对收敛与条件收敛的性质30

12.3.4 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法32

习题12.334

总练习题1235

第13章 函数列与函数项级数37

13.1 函数列的一致收敛性37

13.1.1 函数列及其一致收敛性的概念37

13.1.2 函数列一致收敛性的等价条件39

习题13.140

13.2 函数项级数的一致收敛性41

13.2.1 函数项级数及其一致收敛性的概念41

13.2.2 函数项级数一致收敛性的判别法43

习题13.245

13.3 函数列与函数项级数的分析性质47

13.3.1 连续性47

13.3.2 可积性48

13.3.3 可微性49

习题13.351

13.4 幂级数52

13.4.1 幂级数的基本概念52

13.4.2 幂级数的性质54

习题13.457

13.5 函数的幂级数展开58

13.5.1 泰勒级数58

13.5.2 初等函数的幂级数展开60

习题13.563

总练习题1364

第14章 傅里叶级数67

14.1 傅里叶级数67

14.1.1 傅里叶级数的定义67

14.1.2 傅里叶级数收敛定理69

14.1.3 以2π为周期的傅里叶级数展开70

习题14.172

14.2 以2l为周期的函数的展开73

14.2.1 以2l为周期的函数的傅里叶级数73

14.2.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数74

习题14.277

14.3 收敛定理的证明77

14.3.1 贝塞尔不等式77

14.3.2 收敛性定理的证明79

习题14.381

总练习题1481

第15章 多元函数的极限与连续83

15.1 平面点集与多元函数83

15.1.1 n维空间83

15.1.2 平面点集83

15.1.3 多元函数85

15.1.4 二元函数的图像86

习题15.189

15.2 二元函数的极限90

15.2.1 R2上的完备性定理90

15.2.2 二元函数的极限91

15.2.3 收敛的条件92

15.2.4 累次极限93

15.2.5 非正常极限95

习题15.295

15.3 二元函数的连续性96

15.3.1 连续的定义96

15.3.2 点连续的性质98

15.3.3 闭区域上连续函数的性质99

15.3.4 一致连续性100

习题15.3101

总练习题15101

第16章 多元函数微分学103

16.1 偏导数与全微分103

16.1.1 偏导数103

16.1.2 全微分104

16.1.3 可微的条件104

16.1.4 可微的几何解释106

16.1.5 近似计算106

习题16.1107

16.2 复合函数微分法109

16.2.1 多元复合函数的结构109

16.2.2 复合函数的求导法则109

16.2.3 复合函数的全微分111

16.2.4 方向导数112

16.2.5 梯度114

习题16.2114

16.3 泰勒公式与极值116

16.3.1 高阶偏导数116

16.3.2 复合函数的高阶偏导数119

16.3.3 二元函数的中值公式与泰勒公式120

16.3.4 二元函数的极值121

习题16.3123

总练习题16125

第17章 隐函数定理及其应用127

17.1 隐函数127

17.1.1 隐函数的概念127

17.1.2 隐函数求导举例129

习题17.1131

17.2 隐函数组132

17.2.1 隐函数组的概念132

17.2.2 隐函数组存在定理133

17.2.3 反函数组与坐标变换135

习题17.2136

17.3 几何应用138

17.3.1 曲线的切线与法平面138

17.3.2 曲面的切平面与法线140

习题17.3141

17.4 条件极值142

习题17.4146

总练习题17146

第18章 含参变量积分149

18.1 含参变量的正常积分149

18.1.1 概念149

18.1.2 分析性质149

18.1.3 实例152

习题18.1153

18.2 含参变量的广义积分154

18.2.1 一致收敛性及其判别法154

18.2.2 含参变量无穷限积分的性质158

18.2.3 拓广160

习题18.2161

18.3 欧拉积分162

18.3.1 Γ函数162

18.3.2 B函数165

18.3.3 Γ函数与B函数的关系166

习题18.3166

总练习题18167

第19章 重积分169

19.1 二重积分的概念169

19.1.1 引入与定义169

19.1.2 可积的条件170

19.1.3 二重积分的性质172

习题19.1173

19.2 直角坐标系下二重积分的计算174

19.2.1 基本计算公式174

19.2.2 平面区域的构型与二重积分的计算176

习题19.2178

19.3 二重积分的变量替换179

19.3.1 二重积分的替换公式180

19.3.2 用极坐标计算二重积分182

习题19.3186

19.4 三重积分187

19.4.1 三重积分的概念187

19.4.2 三重积分的计算188

习题19.4193

19.5 三重积分的变量替换194

19.5.1 柱面坐标变换194

19.5.2 球面坐标变换196

习题19.5198

19.6 曲面的面积199

19.6.1 曲面的面积的定义199

19.6.2 曲面面积的计算199

习题19.6202

19.7 三重积分在物理上的应用203

19.7.1 质心203

19.7.2 转动惯量204

19.7.3 引力205

习题19.7206

总练习题19207

第20章 曲线积分与曲面积分210

20.1 第一型曲线积分210

20.1.1 基本概念210

20.1.2 计算211

20.1.3 例题213

习题20.1214

20.2 第二型曲线积分216

20.2.1 基本概念216

20.2.2 计算217

20.2.3 推广220

20.2.4 两类曲线积分的联系221

习题20.2222

20.3 格林公式及其应用223

20.3.1 区域连通性的分类223

20.3.2 格林公式223

20.3.3 应用225

习题20.3228

20.4 曲线积分与路径的无关性228

20.4.1 与路径无关的定义与条件228

20.4.2 应用230

20.4.3 求原函数231

习题20.4232

20.5 第一型曲面积分233

20.5.1 概念233

20.5.2 计算234

习题20.5237

20.6 第二型曲面积分238

20.6.1 曲面的侧238

20.6.2 有向曲面上的正侧面积微元向量239

20.6.3 第二型曲面积分的概念239

20.6.4 第二型曲面积分的计算241

20.6.5 两类曲面积分的联系244

习题20.6246

20.7 奥高公式与斯托克斯公式246

20.7.1 奥高公式246

20.7.2 简单的应用247

20.7.3 斯托克斯公式249

20.7.4 应用250

20.7.5 曲线积分与路径无关的条件252

习题20.7253

20.8 场论初步254

20.8.1 场的概念254

20.8.2 数量场的方向导数与梯度255

20.8.3 向量场的流量与散度256

20.8.4 向量场的环流量与旋度257

总练习题20258

参考书目261