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第1章 预备知识1

1.1 MATLAB编程及符号运算1

1.1.1 MATLAB语言简介1

1.1.2 M文件及M函数2

1.1.3 常量、变量、运算符及表达式3

1.1.4 向量及其运算4

1.1.5 矩阵及其运算6

1.1.6 多项式运算11

1.1.7 控制语句13

1.1.8 MATLAB符号运算15

1.1.9 MATLAB绘图19

1.2 分部积分21

1.3 泛函极值与变分法23

1.3.1 函数的极值23

1.3.2 泛函极值问题24

1.3.3 微分方程的等效泛函形式27

第2章 有限元数学力学基础29

2.1 直接刚度法29

2.1.1 1维弹簧系统29

2.1.2 结点平衡法求解29

2.1.3 直接刚度法求解31

2.1.4 线性弹簧单元的其他形式35

2.2 加权残值法及Galerkin有限元法36

2.2.1 1维直杆受轴向力作用36

2.2.2 材料力学法求精确解36

2.2.3 弹性力学法求精确解36

2.2.4 微分方程等效积分形式及加权残值法37

2.2.5 Galerkin法应用于等效积分弱形式43

2.2.6 采用分段近似函数的Galerkin法48

2.2.7 Galerkin有限元法52

2.3 Rayleigh-Ritz法及Ritz有限元法57

2.3.1 微分方程等效泛函形式57

2.3.2 Rayleigh-Ritz法59

2.3.3 Ritz有限元法61

2.4 有限元求解方法62

2.5 有限元软件64

2.5.1 有限元法的一般求解过程64

2.5.2 有限元软件模块64

2.5.3 有限元软件功能65

2.6 算例67

第3章 桁架结构71

3.1 杆单元力学基础71

3.1.1 基本假定及公式71

3.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理72

3.2 结构离散73

3.3 单元分析及坐标变换74

3.3.1 2结点线性杆单元结点向量74

3.3.2 直接刚度法推导单元方程75

3.3.3 坐标映射77

3.3.4 形函数77

3.3.5 单元应变及应力79

3.3.6 最小势能原理推导单元方程79

3.3.7 虚功原理推导单元方程80

3.3.8 Galerkin方法推导单元方程81

3.3.9 温度载荷82

3.3.10 局部-总体坐标变换82

3.3.11 单元内力计算84

3.3.12 杆单元MATLAB函数84

3.4 单元组装86

3.4.1 单元组装成结构的力学及数学意义86

3.4.2 单元组装成结构的程序实现87

3.4.3 总体刚度矩阵性质92

3.5 边界条件处理92

3.5.1 位移边界条件类型92

3.5.2 直接缩减法94

3.5.3 对角元素置1法96

3.5.4 对角元素乘大数法98

3.5.5 惩罚法99

3.6 算例101

第4章 弹性固体结构109

4.1 弹性力学基本方程及其变分原理109

4.1.1 弹性力学基本方程109

4.1.2 虚功原理117

4.1.3 最小势能原理118

4.1.4 应力状态119

4.2 2维平面问题123

4.2.1 3结点三角形单元123

4.2.2 其他平面单元136

4.2.3 算例140

4.3 轴对称问题146

4.4 3维空间问题151

4.4.1 4结点四面体单元151

4.4.2 8结点八面体单元154

4.5 算例155

第5章 梁及框架结构160

5.1 Euler-Bernoulli梁理论160

5.1.1 基本假定及公式160

5.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理163

5.2 基于Euler-Bernoulli梁理论的2结点梁单元165

5.2.1 结点变量165

5.2.2 坐标映射165

5.2.3 形函数166

5.2.4 单元位移168

5.2.5 单元曲率矩阵（广义应变矩阵）168

5.2.6 单元刚度矩阵169

5.2.7 等效结点载荷向量169

5.2.8 弯矩及剪力计算170

5.3 基于Euler-Bernoulli梁理论的2维框架单元175

5.4 基于Euler-Bernoulli梁理论的3维框架单元184

5.5 Timoshenko梁理论186

5.5.1 基本假定及公式186

5.5.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理189

5.6 剪切变形梁单元190

5.6.1 Timoshenko梁单元190

5.6.2 剪切闭锁及其解决方法193

5.6.3 考虑剪切变形梁单元195

5.7 算例203

第6章 板壳结构210

6.1 Kirchhoff板理论211

6.1.1 基本假定及公式211

6.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理217

6.2 Kirchhoff板单元219

6.2.1 Kirchhoff板单元方程的一般形式219

6.2.2 矩形Kirchhoff板单元220

6.3 Mindlin板理论223

6.3.1 基本假定及公式223

6.3.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理227

6.4 基于位移的Mindlin板单元228

6.4.1 Mindlin板单元方程的一般形式228

6.4.2 矩形Mindlin板单元230

6.4.3 Mindlin板单元的剪切闭锁问题232

6.5 离散Kirchhoff约束板单元234

6.6 壳结构237

6.6.1 由平面单元及弯曲单元组成的壳单元237

6.6.2 从3维单元退化壳单元243

6.7 算例251

第7章 有限元法中的几个专题258

7.1 等参单元258

7.2 数值积分260

7.2.1 积分计算公式260

7.2.2 积分阶数的选择265

7.3 应力计算265

7.3.1 单元应力计算最佳位置点266

7.3.2 单元应力插值与外插267

7.3.3 结点应力平均267

7.4 有限元收敛准则及解的性质270

7.4.1 收敛准则及其物理意义270

7.4.2 离散误差及收敛率272

7.4.3 位移有限元解的下限性质272

7.5 单元形函数构造273

7.5.1 选择单元位移函数的原则273

7.5.2 单元形函数构造过程274

7.5.3 形函数性质275

7.6 非协调元及分片测试275

7.6.1 4结点平面四边形非协调元275

7.6.2 分片测试277

第8章 结构振动与动力响应分析281

8.1 动力学基本方程281

8.2 质量矩阵和阻尼矩阵283

8.2.1 协调质量矩阵和集中质量矩阵283

8.2.2 阻尼矩阵284

8.3 大型特征值问题的解法285

8.3.1 系统特征方程及特征解的性质285

8.3.2 反迭代法（反幂法）286

8.3.3 子空间迭代法291

8.3.4 里兹向量直接叠加法295

8.3.5 Lanczos方法297

8.4 直接积分法300

8.4.1 中心差分法300

8.4.2 Newmark方法303

8.5 振型叠加法306

8.6 算例311

第9章 非线性问题解法320

9.1 非线性问题320

9.2 Newton-Raphson迭代法321

9.3 常刚度迭代——修正的Newton-Raphson方法326

9.4 载荷增量法329

9.5 弧长法331

9.6 线性化及方向导数335

第10章 材料非线性问题339

10.1 受轴向力作用的杆339

10.1.1 微分方程及等效积分弱形式的线性化339

10.1.2 2结点杆单元339

10.1.3 1维弹塑性问题340

10.2 桁架结构的材料非线性分析348

10.3 一般固体结构的材料非线性352

10.3.1 有限元方程的一般形式352

10.3.2 增量应力-应变方程的一般公式352

10.4 材料非线性分析算例356

第11章 几何非线性问题363

11.1 连续介质力学基本概念363

11.1.1 变形梯度363

11.1.2 Green-Lagrange应变369

11.1.3 Cauchy及Piola-Kirchhoff应力373

11.2 控制微分方程及弱形式374

11.3 弱形式线性化378

11.4 单元切线矩阵的一般形式382

11.5 本构方程384

11.5.1 Kirchhoff材料385

11.5.2 可压缩Neo-Hookean材料385

11.6 平面应力分析387

11.7 几何非线性分析算例394

第12章 接触非线性问题402

12.1 简单的法向接触例子402

12.1.1 直接解法402

12.1.2 用法向接触约束求解403

12.2 有摩擦接触问题404

12.2.1 求解无摩擦阻力的梁问题405

12.2.2 摩擦约束函数406

12.2.3 求解有大摩擦阻力的梁问题406

12.2.4 求解有小摩擦阻力的梁问题407

12.3 一般接触问题407

12.3.1 接触点及间隙计算408

12.3.2 接触面上的力413

12.3.3 Lagrange乘子弱形式413

12.3.4 惩罚公式415

12.4 接触算例416

参考文献434