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第一章 数学题的来源1

第一节 来自实践的数学题3

一、《九章算术》中的一题3

二、《周髀算经》中的一题5

三、古代计算兀值问题8

四、《孙子算经》中的一题12

五、正五边形问题16

六、牛吃草问题22

七、哥尼斯堡七桥问题27

八、神奇的菲波纳斯数列30

第二节 来自猜想的数学题36

一、哥德巴赫猜想36

二、费尔马猜想41

三、四色猜想44

四、由一道竞赛题而引起的猜想49

五、由一道几何题而引起的猜想50

第二章 数学题的证明53

第一节 数学推理与数学证明54

一、数学推理56

二、数学证明60

第二节 数学命题与命题演算68

一、否定命题69

二、选言命题69

三、联言命题70

四、假言命题70

五、等价命题71

六、关于“四命题”72

第三章 数学题的题型75

一、选择题的应用和推广78

第一节 选择题78

二、选择题的信度79

三、选择题的评分标准82

第二节 填空题82

第三节 改错题85

第四节 证明题91

第五节 计算题96

第六节 逻辑题102

第四章 数学题的设计114

第一节 由合情推理设计数学题115

一、利用观察、对比、联想设计数学题116

二、利用计算、实验、归纳设计数学题123

第二节 由论证推理设计数学题129

一、利用新建立的数学语言设计数学题129

二、利用现有成题的因果变形设计数学题133

第三节 选择题的设计163

一、选择题的结构163

二、选择题的设计164

第五章 数学题的缺陷168

第一节 潜含逻辑矛盾170

第二节 题意不确切172

第三节 条件不充分175

第四节 条件不独立180

第五节 条件过剩181

一、条件过剩与条件不独立的关系183

二、如何鉴别数学题中所含过剩条件184

第六章 搜索解题思路的原则和方法188

第一节 搜索解题思路首先要进行审题192

第二节 搜索解题思路要灵活机动195

第三节 搜索解题思路要善于猜想199

第四节 搜索解题思路要把顺推和逆推相辅并行203

第五节 搜索解题思路要抓住数学题的具体特点207

第六节 搜索解题思路要借助于已经解决的数学问题210

第七节 搜索解题思路要注意应用基本概念和基础理论212

第八节 搜索解题思路要注意各科知识的综合运用214

第九节 推理序列分类法215

第十节 估值函数与爬山法217

第十一节 中途点法223

习题一227

第七章 逻辑模式解法229

第一节 顺推法231

一、如何探求题中潜含的已知信息232

三、如何探求题中潜含的终点信息233

二、如何探求题中潜含的允许运算或推理233

习题二236

第二节 逆推法236

一、逆推法适用的先决条件236

二、同一法238

三、关于逆证法的定义241

四、逆向思维法242

习题三243

第三节 类推法244

二、类似关系245

一、等价关系245

三、伸缩关系246

习题四250

第四节 反证法250

一、简单归谬法252

习题五260

二、穷举归谬法260

习题六265

三、分类归谬法265

习题七267

四、抽屉法268

习题八278

第五节 穷举归纳法278

习题九286

第六节 数学归纳法287

一、数学归纳法的要素289

二、数学归纳法的变形与发展291

三、数学归纳法的应用294

四、递推法296

习题十300

第七节 试验法301

习题十一309

第八章 学科模式解法310

第一节 代数法312

一、代数法的应用313

习题十二318

二、坐标法的应用318

习题十三323

三、复数法的应用323

习题十四330

一、几何法的应用331

第二节 几何法331

习题十五334

二、几何直观法335

习题十六340

第三节 三角法341

习题十七345

第四节 向量法345

习题十八351

笫五节 数学分析方法352

一、极限法352

习题十九356

二、导数法357

习题二十362

三、积分法363

习题二十一367

第六节 概率论方法368

一、古典概型的概率计算368

习题二十二377

二、古典概率的初等应用378

第七节 组合论方法382

习题二十三382

一、基本计数法383

习题二十四387

二、逐步淘汰法388

习题二十五393

第九章 构造模式解法394

第一节 构造图形法395

一、添线法395

习题二十六399

二、几何变换法400

习题二十七408

一、换元法409

第二节 构造方程法409

习题二十八414

二、消元法415

习题二十九420

三、待定系数法420

习题三十425

第三节 构造函数法425

习题三十一428

第一节 间接解法(亦称选择法)429

第十章 选择题解法429

第二节 直接解法432

一、特例法(亦称特征筛选法)433

二、顺推法438

三、几何直观法(亦称图象法)441

习题三十二443

附录446

一、习题答案与提示446

二、图序编号说明466

三、例题分布表466