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第1部分 集合论3

相关历史背景3

第1章 集合5

1.1集合的基本概念5

1.1.1集合与元素5

1.1.2集合的表示5

1.1.3集合间的关系6

1.2集合的运算7

1.2.1并运算7

1.2.2交运算9

1.2.3补运算9

1.2.4差运算10

1.2.5对称差运算10

1.2.6有限集合基数的运算11

1.3集合恒等式的证明13

1.3.1从定义出发证明集合恒等13

1.3.2利用集合运算律证明恒等式14

1.4笛卡儿积15

1.4.1笛卡儿积的概念15

1.4.2笛卡儿积的运算性质15

1.4.3 n阶笛卡儿积17

习题一17

第2章 关系20

2.1关系的基本概念20

2.1.1二元关系20

2.1.2关系的表示法21

2.2关系的运算23

2.2.1逆关系24

2.2.2关系的合成26

2.2.3关系的幂28

2.3关系的性质29

2.3.1关系的基本性质29

2.3.2关系性质的定理32

2.4关系的闭包33

2.5等价关系35

2.5.1等价关系与等价类35

2.5.2商集与划分37

2.6偏序关系与层次结构38

习题二41

第3章 映射45

3.1映射的基本概念45

3.1.1映射的定义45

3.1.2单射、满射和双射47

3.1.3有关映射的定理47

3.2逆映射与复合映射49

3.2.1逆映射49

3.2.2映射的合成50

3.2.3有关映射合成的定理51

3.3变换与置换52

3.3.1变换52

3.3.2置换54

习题三54

第2部分 数理逻辑59

相关历史背景59

第4章 命题逻辑64

4.1基本概念和基本运算64

例题分析4.167

4.2命题公式和真值表69

例题分析4.271

4.3等值演算73

例题分析4.376

4.4推理理论77

例题分析4.483

4.5范式88

习题四90

第5章 谓词逻辑93

5.1基本概念93

例题分析5.196

5.2谓词公式及解释98

例题分析5.2103

5.3谓词公式的等值式105

例题分析5.3109

5.4谓词逻辑的推理理论110

例题分析5.4112

习题五115

第3部分 代数系统119

相关历史背景119

第6章 代数系统的基本概念121

6.1代数运算和代数系统的定义121

6.2代数系统的性质122

6.2.1常见的运算性质122

6.2.2常见的特殊元素123

6.2.3可逆元素与幂等元素124

6.3同态与同构125

6.3.1同态映射与同构映射125

6.3.2同态象126

6.3.3同构象129

6.3.4同构的应用129

习题六132

第7章 几个典型的代数系统135

7.1群135

7.1.1群的定义135

7.1.2群的基本性质136

7.2环与域137

7.3格与布尔代数139

7.3.1布尔代数的基本性质140

7.3.2几个布尔代数系统142

7.4关系代数143

习题七144

第4部分 图论149

相关历史背景149

第8章 图的基本概念151

8.1基本概念151

例题分析8.1155

8.2图的连通性158

例题分析8.2160

8.3图的矩阵表示161

例题分析8.3164

8.4一些特殊的图166

8.4.1欧拉图166

8.4.2汉密尔顿图168

8.4.3二部图169

8.4.4平面图170

例题分析8.4171

8.5最短路径172

8.5.1有向图的最短路径问题172

8.5.2 Dijkstra的标号法172

8.5.3 Dijkstra标号法需要改进之处174

8.5.4改进的Dijkstra标号法174

例题分析8.5177

8.6关键路径179

8.6.1 PERT图179

8.6.2最早完成时间180

8.6.3最晚完成时间180

8.6.4缓冲时间180

习题八181

第9章 树184

9.1树的基本概念184

9.2有向树187

习题九193

第5部分 组合计数基础197

第10章 组合计数基础197

10.1基本计数规则197

10.1.1加法法则197

10.1.2乘法法则197

10.2排列与组合198

10.3二项式定理与组合恒等式200

10.4多项式定理202

习题十203

第6部分 离散数学在各领域中的应用207

第11章 离散数学在各领域中的应用207

11.1集合的应用207

11.1.1集合在关系数据库中的应用207

11.1.2集合特征代码与代码的运算208

11.1.3有限集合的基数209

11.1.4序关系在项目管理中的应用210

11.2命题逻辑的应用210

11.2.1推理问题210

11.2.2红楼梦中的命题逻辑212

11.2.3分工212

11.2.4逻辑学家的推理213

11.2.5程序下载214

11.2.6自动调动电路215

11.2.7发问215

11.2.8人员录取方案216

11.2.9排课方案216

11.2.10人员选派218

11.2.11在科技管理中的应用219

11.2.12在排队论中的应用221

11.2.13密码锁问题221

11.2.14假言推理的应用222

11.2.15电路设计223

11.3代数系统的应用224

11.3.1开关电路的技术问题225

11.3.2开关电路函数225

11.3.3逻辑门225

11.4图论的应用226

11.4.1购物场所的选址226

11.4.2最优匹配问题227

11.4.3旅游路线的选择227

11.4.4公交网络路径的确定230

11.4.5消防选址231

11.4.6中国邮递员问题233

11.4.7人员分配233

11.4.8着色问题235

11.4.9 PERT图简介235

11.4.10最小成本生成树236

11.4.11列车运行模型237

11.4.12排座位237

11.4.13关键路径问题238

11.4.14电网建设241

11.4.15城市交通242

11.4.16铁路危险货物配放243

11.4.17树状河流空间关系246

11.4.18风险管理中的决策树247

模拟试题一249

模拟试题二251

参考文献253